Question

已知函数f(x)=a·4^x-2^x+1+a+3。
（1）若a=0，解方程f(2x)=-5；
（2）若a=1，求f(x)的单调区间；
（3）若存在实数x₀∈[-1，1]，使f(x₀)=4，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（1）若a=0，由f(2x)=-5，即，解得：x=1。
（2）若a=1，则，
设，且，
则
，

①当时，有，
∴，∴，
∴f(x)在[0，+∞)上是增函数；
②当时，有，
∴，∴，
∴f(x)在(-∞，0]上是减函数；
∴f(x)的单调增区间是[0，+∞)，单调减区间是(-∞，0]。
（3）设，由，得，
且，
∴存在，使得，即，
令，
若a≠0，则函数g(t)的对称轴是，
由已知得：方程g(t)=0在上有实数解，
∴，    ①
或，              ②
由不等式①得：，∴，
由不等式组②得：，∴，
所以，实数a的取值范围是。