Question

已知函数f(x)=lgx-(

1

2

)x，g(x)=lgx+(

1

2

)x的零点分别为x₁，x₂，则有（　　）

A．x₁x₂＜0

B．x₁x₂=1

C．x₁x₂＞1

D．0＜x₁x₂＜1

Answer 1

分析：由已知中函数f(x)=lgx-(

1

2

)x，g(x)=lgx+(

1

2

)x的零点分别为x₁，x₂，根据对数函数底数互为倒数时，图象关于x轴对称，函数y=log

1

10

x与y=(

1

2

)x交点横坐标x₂，进而结合指数函数y=(

1

2

)x的单调性，可判断出交点纵坐标的大小，进而由对数的运算性质可得答案．

解答：解：f(x)=lgx-(

1

2

)x的零点，即为函数y=lgx与y=(

1

2

)x交点横坐标x₁，
g(x)=lgx+(

1

2

)x的零点，即为函数y=lgx与y=-(

1

2

)x交点横坐标x₂，
即为函数y=log

1

10

x与y=(

1

2

)x交点横坐标x₂，
∵函数y=(

1

2

)x为减函数，
则y₁＜y₂，
即lgx₁＜log

1

10

x2=-lgx₂
∴lgx₁+lgx₂=lgx₁x₂＜0
∴0＜x₁x₂＜1
故选D

点评：本题以函数的零点为载体考查了指数函数和对数函数的图象和性质，难度较大．