Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1，n∈N．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=

n

an+1-an

，设数列{b_n}的前n项和为T_n，n∈N^*，试判断T_n与2的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1，知S_n+1+（n+1）+2=2（S_n+n+2），所以S_n=2ⁿ⁺¹-n-2．由此能求出a_n．
（Ⅱ）由a_n=2ⁿ-1，知bn =

n

an+1-an

=

n

2 n+1-2n

=

n

2n

，所以Tn=1×

1

2

+2×

1

2 2

+…+n×

1

2 n

，由错位相减法得到Tn=2-(2+n)(

1

2

)n，由此能够证明T_n＜2．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1，
∴S_n+1+（n+1）+2=2（S_n+n+2），
并且S₁+1+2=1+1+2=4，数列{S_n+n+2}组成一个以4为首项，2为公比的等比数列，
∴S_n+n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
S_n=2ⁿ⁺¹-n-2．
∴a₁=S₁=2²-1-2=1，
a_n=S_n-S_n-1
=（2ⁿ⁺¹-n-2）-（2ⁿ-n-1）=2ⁿ-1，
当n=1时，2ⁿ-1=1=a₁，
∴a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ-1，
∴bn =

n

an+1-an

=

n

2 n+1-2n

=

n

2n

，
∴Tn=1×

1

2

+2×

1

2 2

+…+n×

1

2 n

，①

1

2

Tn=1×

1

2 2

+2×

1

2  3

+…+n×

1

2 n+1

，②
①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+ 

1

2 2

+

1

2 3

+…+

1

2 n

-n×

1

2 n+1

=

1 2 (1- 1 2 n )

1- 1 2

-n×

1

2 n+1

=1-

1

2 n

-

n

2 n+1

，
∴Tn=2-(2+n)(

1

2

)n
∴T_n＜2．

点评：本题考查数列的通项公式的证明和数列前n项和的求法和不等式的证明．解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的灵活运用．本题计算繁琐，容易出错．要注意培养计算能力．