Question

凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=

3

，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．
（1）写出cosA与cosQ的关系式；
（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求s²+T²的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．

Answer 1

分析：（1）在三角形PAB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB²，在三角形PQB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB²，两者相等变形即可得到结果；
（2）利用三角形面积公式分别表示出S与T，代入S²+T²中，利用同角三角函数间的基本关系化简，将第一问确定的关系式代入，利用余弦函数的性质及二次函数的性质求出最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积即可．

解答：解：（1）在△PAB中，由余弦定理得：PB²=PA²+AB²-2PA•AB•cosA=1+3-2

3

cosA=4-2

3

cosA，
在△PQB中，由余弦定理得：PB²=PQ²+QB²-2PQ•QB•cosQ=2-2cosQ，
∴4-2

3

cosA=2-2cosQ，即cosQ=

3

cosA-1；
（2）根据题意得：S=

1

2

PA•AB•sinA=

3

2

sinA，T=PQ•QB•sinQ=

1

2

sinQ，
∴S²+T²=

3

4

sin²A+

1

4

sin²Q=

3

4

（1-cos²A）+

1

4

（1-cos²Q）=-

3cos2A

2

+

3

2

cosA+

3

4

=-

3

2

（cosA-

3

6

）²+

7

8

，
当cosA=

3

6

时，S²+T²有最大值

7

8

，此时S_{四边形PABQ}=S+T=

11 + 3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．