Question

如图，江北水城湖畔有一块边长为2a的等边三角形的草坪，在这块草坪内安装灌溉水管DE，使DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
①设AD=x（x≥0），DE=y，求y关于x的函数关系式；
②为节约成本，应如何安装，才能使灌溉水管DE最短，最短是多少？

Answer 1

解：①∵，∴，
∴AE=，
在△ADE中，，
∵y＞0，∴
又AE=≤2a，∴x≥a，∵D在AB上，∴x≤2a，
∴（a≤x≤2a）
②，
当且仅当，即时“=”成立，
此时，∴使AD=AE=时，DE最短，最短为．
分析：①先根据S_△ADE=S_△ABC求得x和AE的关系，进而根据余弦定理把x和AE的关系代入求得x和y的关系．
②根据均值不等式求得y的最小值，求得等号成立时的x的值即可．
点评：本题主要考查了基本不等式，以及函数的单调型求最值，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于综合题．