题目内容

数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2b_n+1，若数列{a_n}满足a₁=1， $数学公式$ （n≥2且n∈N^）．
（1）求b₂，b₃及数列{b_n}的通项公式；
（2）试证明： $数学公式$ （n≥2且n∈N^）；
（3）求证： $数学公式$ ．

解：（1）∵b₁=1，b_n+1=2b_n+1，
∴b₂=2×1+1=3，
b₃=2×3+1=7，
∵b_n+1=2b_n+1，∴b_n+1+1=2（b_n+1），
∴ $\text{[math]}$ =2•2^n-1=2ⁿ，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）∵a₁=1， $\text{[math]}$ （n≥2且n∈N^*），
∴ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （n≥2且n∈N^*）．
（3）由（2）知 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ •a_n+1
= $\text{[math]}$
=2• $\text{[math]}$
=2（ $\text{[math]}$ ），
而 $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，
当k≥2时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$
=1+2[（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）
=1+2（ $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由b₁=1，b_n+1=2b_n+1，分别令n=1和n=2，先求出b₂和b₃，再由b_n+1=2b_n+1，利用构造法求出{b_n}的通项公式．
（2）由a₁=1， $\text{[math]}$ （n≥2且n∈N^*），变形得到 $\text{[math]}$ ，由此能够证明： $\text{[math]}$ （n≥2且n∈N^*）．
（3）由（1）知： $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ ），再由 $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，利用放缩法能够证明 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．