Question

已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n}满足：-

1

2

＜a1＜0，21+an+1=f(an)，（n∈N^*）．
（1）求证：-

1

2

＜an＜0（n∈N^*）．
（2）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）①当n=1时，已知-

1

2

＜a1＜0成立；②假设n=k（n∈N^*）时，不等式-

1

2

＜ak＜0成立．要证-

1

2

＜ak+1＜0成立，只需

2

＜21+an+1＜2，因为21+ak+1=f(ak)，所以只需

2

＜f(ak)＜2．利用导数能够得到当n=k+1时，-

1

2

＜an＜0（n∈N^*）也成立．由①，②可知，-

1

2

＜an＜0对于任意n∈N^*都成立．
（2）21+ak+1-21+ak=f(an)-21+ak．令g（x）=f（x）-2^1+x，则g′（x）=f′（x）-2^1+xln2=（-4^x-2^x+1）ln4，因为-t²-t+1=0时，t=

-1± 5

2

，所以t＜

-1- 5

2

，或t＞

-1+ 5

2

时，-t²-t+1＜0．由此能够比较a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小．

解答：（1）证明：①当n=1时，已知-

1

2

＜a1＜0成立；
②假设n=k（n∈N^*）时，不等式-

1

2

＜ak＜0成立．
要证-

1

2

＜ak+1＜0成立，只需

2

＜21+an+1＜2，
∵21+ak+1=f(ak)，
∴只需

2

＜f(ak)＜2．
又f′（x）=-4^xln4+2ln2=（1-4^x）ln4
当-

1

2

＜x＜0时，0＜1-4x＜

1

2

，
∴f(-

1

2

) ＜f(ak)＜f(0)．
又f（0）=2，f(-

1

2

) =

5

2

-ln2=

3

2

+1-ln2＞

2

，
∴当n=k+1时，不等式-

1

2

＜an＜0也成立．
由①，②可知，-

1

2

＜an＜0对于任意n∈N^*都成立．
（2）解：21+ak+1-21+ak=f(an)-21+ak
令g（x）=f（x）-2^1+x，
则g′（x）=f′（x）-2^1+xln2=（1-4^x）ln4-2^xln4=（-4^x-2^x+1）ln4．
∵-t²-t+1=0时，t=

-1± 5

2

，
∴t＜

-1- 5

2

，或t＞

-1+ 5

2

时，-t²-t+1＜0，
而x＞-

1

2

时，2x＞

2

2

＞

-1+ 5

2

，
∴x＞-

1

2

时，g′（x）＜0，
即f(an)-21+ak＞f(0)-2=0，
∴21+ak+1＞21+ak，
即a_n+1＞a_n（n∈N^*）．

点评：本题考查数列和不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．