Question

等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁₀=30，a₂₀=50．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若S_n=242，求n；
（3）令bn=(an-10)•2n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式，根据a₁₀和a₂₀的值建立方程组，求得a₁和d，则通项a_n可得．
（2）把等差数列的求和公式代入S_n=242进而求得n．
（3）将通项a_n可代入求出数列{b_n}的通项公式，然后求出Tn和2Tn并将两式相减，即可得出结果．

解答：解：（1）由a_n=a₁+（n-1）d，a₁₀=30，a₂₀=50，得方程组

a1+9d=30 a1+19d=50

，解得a₁=12，d=2．∴a_n=12+（n-1）•2=2n+10…（3分）
（2）由Sn=na1+

n(n-1)

2

d，Sn=242得方程12n+

n(n-1)

2

×2=242
解得n=11或n=-22（舍去），∴n=11…（6分）
（3）bn=(an-10)•2n-1(2n+10-10)•2n-1=n•2n…（7分）Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)•2n+n•2n+1…（9分）
两式相减得：-Tn=2 +22+23+…+2n-n•2n+1…（10分）∴Tn=-(2 +22+23+…+2n)+n•2n+1
=-

2(1-2n)

1-2

+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2…（12分）

点评：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力．