Question

（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

X	1	2	3	4
Y	51	48	45	42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；
（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．

解答：解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有

C

1 3

C

1 12

=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为

8

36

=

2

9

；
（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
记n_k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n₁=2，n₂=4，n₃=6，n₄=3
由P（X=k）=

nk

N

得P（X=1）=

2

15

，P（X=2）=

4

15

，P（X=3）=

6

15

=

2

5

，P（X=4）=

3

15

=

1

5

∴所求的分布列为

Y	51	48	45	42
P	2 15	4 15	2 5	1 5

数学期望为E（Y）=51×

2

15

+48×

4

15

+45×

2

5

+42×

1

5

=46

点评：本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．