Question

已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂、a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）求数列{2a_n+1}前项的和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用条件求出等比数列的首项和公比，然后求通项公式．
（2）利用分组求和法求数列{2a_n+1}前项的和T_n．

解答：解：（1）由a₃+2是a₂、a₄的等差中项，得a₂+a₄=2（a₃+2），
因为a₂+a₃+a₄=28，所以a₂+a₄=28-a₃，
所以2（a₃+2）=28-a₃，解得a₃=8，
所以a₂+a₄=20，
所以

a1q+a1q3=20 a1q2=8

，解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

，
又{a_n}为递增数列，所以q＞1．
所以a₁=2，q=2，所以a_n=2ⁿ．
（2）因为a_n=2ⁿ．
所以2a_n+1=2?2ⁿ+1=2ⁿ⁺¹+1，
所以数列{2a_n+1}前项的和T_n=（2²+1）+（2²+1）+…+（2ⁿ⁺¹+1）=2²+2²+…+2ⁿ⁺¹+n=

4(1-2n)

1-2

+n=2n+2+n-2．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式，以及利用分组法求数列的前n项和，考查学生的运算能力．