Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

，（a∈R）．
（1）若f（x）是奇函数，求a的值；
（2）判断f（x）在定义域上的单调性，并证明；
（3）要使f（x）≧0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）因f（x）是R上的奇函数
．所以f（x）+f（-x）=0
所以过原点．a=1．
（2）定义域为R
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）
=a-

2

2x2+1

-a+

2

2x1+1

=-

2

2x2+1

+

2

2x1+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

.
∵y=2^x为增函数，且x₂＞x_1，
∴2x2＞2x1而分母大于0恒成立
∴f（x₂）-f（x₁）＞0∴f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）是R上的增函数
（3）由f（x）≥0恒成立，可得a≥

2

2x+1

恒成立
∵0＜

2

2x+1

＜2要使其恒成立，只需a≥2