Question

已知曲线C：x2+

y2

a

=1，直线l：kx-y-k=0，O为坐标原点．
（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
（2）当a=-1时，直线l与曲线C相交于两点M，N，试问在曲线C上是否存在点Q，使得

OM

+

ON

=λ

OQ

？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若直线l与x轴的交点为P，当a＞0时，是否存在这样的以P为直角顶点的内接于曲线C的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根据a与0与1的大小关系进行分类讨论即可；
（2）当a=-1时，曲线C表示焦点在x轴上的等轴双曲线，直线l：kx-y-k=0过曲线C的右顶点（1，0），不妨设为点M，设点N（x₂，y₂），把直线l的方程代入曲线C的方程，由根与系数的关系求得点N坐标及k值，由

OM

+

ON

=λ

OQ

，求得点Q的坐标，从而得出结论．
（3）先求出点P的坐标，根据条件设出过点P的直线方程l₁：y=k（x-1）与曲线C交于另一点A，根据根与系数的关系以及弦长公式求出|PA|；同理求出|PB|，最后结合|PB|=|PA|即可得到结论．

解答：解：（1）因为：x²+

y2

a

=1．
当a＜0时，曲线表示焦点在X轴上的双曲线；
当a=1时，曲线表示单位圆；
当0＜a＜1时，曲线表示焦点在X轴上的椭圆；
当a＞1时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆．
（2）直线l与曲线C都恒过定点（1，0），不妨记点M（1，0），
由

y=k(x-1) x2-y2=1

?（k²-1）x²-2k²x+k²+1=0，
可得另外一交点为N（x_N，y_N）
则xN=

k2+1

k2-1

，yN=

2k

k2-1

．
假设存在满足条件的Q，则

OM

+

ON

=λ

OQ

．
则

1+xN=λxQ yN=λyQ

代入曲线C可得

1

λ2

(xQ2-yQ2)=1?λ2=(

2k 2

k2-1

)2-(

2k

k2-1

)2=4+

4

k2-1

＞4．
所以，当λ＜-2或λ＞2时．存在满足条件的Q．
（3）由（2）知，点M（1，0）即点P（1，0）．
设过点P（1，0）的直线为l₁：y=k（x-1）与曲线C交于令一点A，
由

y=k(x-1) x2+ y2 a =1

?（a+k²）x²-2k²x+k²-a=0，
∴xA+xp=

2k2

a+k2

，xA•xp=

k2-a

a+k2

；
∴|PA|=

1+k2

•|x_A-x_p|=

1+k2

(xA+xp)2-4 xAxp

=

1+k2

•

2a

a+k2

．
同理可求过点P（1，0）的直线L_PB：y=-

1

k

（x-1）．|PB|=

1+ ( 1 k )2

•

2a

a+( 1 k )2

因为|PB|=|PA|??k³-ak²+ka-1=0?
即（k-1）[k²+（1-a）k+1]=0       
∴k=1或k²+（1-a）k+1=0?
当k²+（1-a）k+1=0时，△=（a-1）²-4?
由△＜0，得-1＜a＜3?0＜a＜3
由△=0，得a=3，此时，k=1
故，由△≤0，即0＜a≤3 时有一解?
由△＞0即a＞3 时有三解

点评：本题考查方程表示的曲线，弦长公式，两个向量坐标形式的运算，一元二次方程根与系数的关系，求点Q的坐标是解题的难点．