Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

1

2

，右焦点到直线

x

a

+

y

b

=1的距离d=

21

7

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用离心率求得a和c的关系式，同时利用点到直线的距离求得a，b和c的关系最后联立才求得a和b，则椭圆的方程可得．
（II）设出A，B和直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用OA⊥OB推断出x₁x₂+y₁y₂=0，
求得m和k的关系式，进而利用点到直线的距离求得O到直线AB的距离为定值，进而利用基本不等式求得OA=OB时AB长度最小，最后根据d•AB=OA•OB≤

AB2

2

求得AB的坐标值．

解答：解：（I）由e=

1

2

得

c

a

=

1

2

即a=2c，∴b=

3

c．
由右焦点到直线

x

a

+

y

b

=1的距离为d=

21

7

，
得：

|bc-ab|

a2+b2

=

21

7

，
解得a=2，b=

3

．
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为y=kx+m，
与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1联立消去y得3x²+4（k²x²+2kmx+m²）-12=0，x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0．
即（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，∴(k2+1)

4m2-12

3+4k2

-

8k2m2

3+4k2

+m=0，
整理得7m²=12（k²+1）
所以O到直线AB的距离d=

|m|

k2+1

=

12 7

=

2 21

7

．为定值
∵OA⊥OB，∴OA²+OB²=AB²≥2OA•OB，
当且仅当OA=OB时取“=”号．
由d•AB=OA•OB得d•AB=OA•OB≤

AB2

2

，
∴AB≥2d=

4 21

7

，
即弦AB的长度的最小值是

4 21

7

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力和基本的运算能力．