Question

若方程x²+（

2

sin2θ）x+2cosθ=0（其中0＜θ＜π的两实根为α、β，数列1，

1

α

+

1

β

，（

1

α

+

1

β

）²，…的所有项的和为2-

2

，试求θ的值．

Answer 1

分析：根据一元二次方程根与系数的关系，得α+β=-

2

sin2θ，αβ=2cosθ．由无穷等比数列的求和公式，得

1

1+ 2 sinθ

=2-

2

，解得sinθ=

1

2

，所以θ=

π

6

或

5π

6

，而θ=

π

6

时原方程无实数根，故只有θ=

5π

6

符合题意，得到本题的答案．

解答：解：∵方程x²+（

2

sin2θ）x+2cosθ=0（其中0＜θ＜π的两实根为α、β，
∴△=（

2

sin2θ）²-4×2cosθ≥0 …（1）
且α+β=-

2

sin2θ，αβ=2cosθ
由题意，得|

1

α

+

1

β

|＜1，
∴|

α+β

αβ

|=|

- 2 sin2θ

2cosθ

|=

2

|sinθ|＜1，即|sinθ|＜

2

2

∵0＜θ＜π，∴0＜sinθ＜

2

2

…（2）
∵等比数列1，

1

α

+

1

β

，（

1

α

+

1

β

）²，…的所有项的和为S=

1

1-( 1 α + 1 β )

=2-

2

，
∴

1

1+ 2 sinθ

=2-

2

，解之得sinθ=

1

2

，符合（2）
∴θ=

π

6

或

5π

6

，经检验θ=

π

6

不满足（1），故只有θ=

5π

6

符合题意
综上所述，θ的值为

5π

6

点评：本题以一元二次方程根与系数的关系和根的判别式为载体，考查了三角函数的化简求值和无穷递缩等比数列求和公式等知识点，属于中档题．