Question

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，
（1）求角A；
（2）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知表达式，利用两角和的正弦函数，求出A的余弦函数值，然后求出A的大小．
（2）利用正弦定理求出三角形的周长，利用（1）的结果化简表达式的为B的三角函数的形式，然后求出最值．

解答：解：（1）2acosC+c=2b，利用正弦定理2sinAcosC+sinC=2sinB，
将sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC代入得sinC=2cosA sinC，
即cosA=

1

2

，A=

π

3

（6分）
（2）由

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

2

3

得，l△ABC=

2

3

(sinB+sinC)+1，
将C=

2π

3

-B代入化简得l△ABC=2sin(B+

π

6

)+1，因为

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

所以周长的取值范围是（2，3]（12分）

点评：本题考查正弦定理的应用，两角和与差的三角函数，三角函数的最值，考查计算能力．