Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x²
（1）求x＞0时，f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=2a²+a有三个不同的解，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）任取x＞0，则-x＜0，
∴f（-x）=-2x+（-x）²=x²-2x．
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=2x-x²．
故x＞0时，f（x）=2x-x²．
（2）由（1）得y=f（x）有极大值1，极小值-1
∵方程f（x）=2a²+a有三个不同的解，
∴-1＜2a²+a＜1．
∴-1＜a＜．
分析：（1）任取x＞0，则-x＜0，结合当x≤0时，f（x）=2x+x²，f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=-f（-x），可得x＞0时，f（x）的解析式；
（2）由（1）可得y=f（x）有极大值1，极小值-1，进而可构造关于a的不等式，解不等式可得答案．
点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，利用奇偶性求函数的解析，是函数的综合应用，难度中档．