Question

已知函数f(x)=lg[ax-(

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2

)x]，（ a＞0，a≠1，a为常数）
（1）当a=2时，求f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，判断函数g(x)=ax-(

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2

)x在区间（0，+∞）上的单调性；
（3）当a＞1时，若f（x）在[1，+∞）上恒取正值，求a应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数的性质可知，真数恒大于零，建立不等关系，解之即可；
（2）在定义域（0，+∞）内任取两个值x₁，x₂，并规定大小，然后将它们的函数值进行作差比较，确定符号，根据单调性的定义可知该函数的单调性；
（3）根据题意可转化成lg[ax-(

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2

)x]＞0=lg1，即ax-(

1

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)x＞1对x∈[1，+∞）恒成立，只需研究y=ax-(

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2

)x在[1，+∞）上的最小值恒大于1即可．

解答：解：(1).2x＞(

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)x，即2x＞2-x?x＞-x，
∴x＞0．f（x）的定义域为（0，+∞）
（2）当a＞1时，函数的定义域为（0，+∞）．任取0＜x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=ax1-(

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2

)x1-ax2+(

1

2

)x2=(ax1-ax2)+(

1

2

)x2-(

1

2

)x1，
由于a＞1，有ax1＜ax2，(

1

2

)x2＜(

1

2

)x1，
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂
∴g(x)=ax-(

1

2

)x在其定义域上是增函数．（也可：由a＞1，知a^x递增，0.5^x递减，-（0.5）^x也递增，故g（x）递增）
（3）依题意，lg[ax-(

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)x]＞0=lg1，即ax-(

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)x＞1对x∈[1，+∞）恒成立，
由于a＞1时，y=ax-(

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2

)x在[1，+∞) 上递增，
∴f(1)=lg(a-

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2

)＞0，得a-

1

2

＞1，∴a＞

3

2

．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及指数函数的单调性和对数函数的定义域，属于基础题．