题目内容

已知S_n= $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ．若S_m=9，则m=________．

99
分析：先研究通项： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，然后令n=1，n=2，n=3，…，n=m，得到数列{a_n}的前m项的表达式，然后将这m项相加，可得S_m= $\text{[math]}$ -1=9，从而得出m=99．
解答：设 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（1）
$\text{[math]}$ …（2）
$\text{[math]}$ …（3）
…
$\text{[math]}$ …（m）
将此m个式子相加，得
S_m= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
=（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ -1．
∵S_m=9，
∴ $\text{[math]}$ -1=9?m=99
故答案为：99
点评：本题给出一个特殊的数列，在已知前m项的和的情况下，求正整数m的值，着重考查了数列求和中裂项累加的方法，属于中档题．

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