Question

已知椭圆9x²＋2y²＝18上任意一点P，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且，点M的轨迹为曲线E．

(Ⅰ)求曲线E的方程；

(Ⅱ)若过定点F(0，2)的直线l交曲线E于不同的两点G，H(点G在点F，H之间)，且满足，求直线l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

(文)解：(Ⅰ)设点P(x0，y0)，是椭圆上一点，则Q(x0，0)，M(x，y) 　　由已知得：x0＝x，y0＝3y代入椭圆方程得 　　9x2＋18y2＝18即x2＋2y2＝2为曲线E的方程．　4分 　　(Ⅱ)设G(x1，y1)，H(x2，y2) 　　当直线GH斜率存在时，设直线GH的斜率为k 　　则直线GH的方程为：y＝kx＋2，　5分 　　代入x2＋2y2＝2，得：(＋k2)x2＋4kx＋3＝0 　　由△＞0，解得：k2＞　6分 　　 　　　　(2) 　　∴将(1)代入(2)整理得：　9分 　　解得：　11分 　　∴直线l的方程为：y＝x＋2　12分 　　当直线GH斜率不存在时，直线的l方程为x＝0，此时 　　矛盾不合题意． 　　∴所求直线l的方程为：y＝x＋2　14分 　　(理)解：(Ⅰ)设点P(x0，y0)，是椭圆上一点，则Q(x0，0)，M(x，y) 　　由已知得：x0＝x，y0＝3y代入椭圆方程得 　　9x2＋18y2＝18即x2＋2y2＝2为曲线E的方程．　4分 　　(Ⅱ)设G(x1，y1)，H(x2，y2) 　　当直线GH斜率存在时，设直线GH的斜率为k 　　则直线GH的方程为：y＝kx＋2，　5分 　　代入x2＋2y2＝2，得：(＋k2)x2＋4kx＋3＝0 　　由△＞0，解得：k2＞　6分 　　 　　 　　　　(2) 　　∴将(1)代入(2)整理得：　9分 　　 　　又∵0＜λ＜1，∴＜λ＜1　13分 　　当直线GH斜率不存在时，直线GH的方程为 　　∴λ＝ 　　∴所求λ的范围为≤λ＜1　14分