Question

已知函数,（其中且）.

   （1）讨论函数的单调性；

   （2）若，求函数,的最值；

   （3）设函数,当时，若对于任意的，总存在唯一的，使得成立．试求的取值范围．

Answer 1

（1）

当时，在上函数单调递增，在上函数单调递减

当时，在上函数单调递减，在上函数单调递增------3分

（2）由，可得。（4分）。由（1）知，当时，在上是减函数。而在上也是减函数，当时，取最大值（5分）；当时，取最小值。（6分）

（3）当时，。由（1）知，此时函数在上是减函数，从而，即（8分）。

当，由于，则，

在上单调递增，从而。即（10分）

要使成立，只需，只需，即成立即可，由于在上单调递增，且，由可得，又，所以。（12分）