Question

（2006•西城区一模）已知函数f（x）=

3

a

x3-x（a∈R，a≠0）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）曲线y=f（x）在点(

3	a

，f(

3	a

))处的切线恒过y轴上一个定点，求此定点坐标；
（Ⅲ）若a＞0，x₁＞

a 3

，曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））处的切线与x轴的交点为（x₂，0），试比较x₁与x₂的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据导数确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求曲线的切线，利用切线求此定点坐标；
（Ⅲ）利用切线方程得到x轴的交点为（x₂，0），利用不等式比较x₁与x₂的大小．

解答：解：（I）f'（x）=

9

a

x2-1…（2分）
当a＜0时，f'（x）=

9

a

x2-1＜0，所以f（x）在R上是减函数…（3分）
当a＞0时，解

9

a

x2-1＞0，得x＞

a

3

或x＜-

a

3

解

9

a

x2-1＜0，得-

a

3

＜x＜

a

3

所以，区间(-

a

3

，

a

3

)上为f（x）的减区间，
区间(-∞，-

a

3

)和(

a

3

，+∞)为f（x）的增区间…（5分）
（II）在点(

3	a

，f(

3	a

))处曲线切线的斜率为

9

a

3	a2

-1…（6分）
切线方程为y-(3-

3	a

)=(

9

a

3	a2

-1)(x-

3	a

)…（7分）
令x=0，可得y=-6
所以切线恒过点（0，-6）…（9分）
（III）点（x₁，f（x₁））处曲线的切线方程为y-(

3

a

x

3 1

-x1)=(

9

a

x

2 1

-1)(x-x1)
令y=0，得x2=

6 x 3 1

9 x 2 1 -a

…（10分）
x2-x1=

6 x 3 1

9 x 2 1 -a

-x1=

x1(a-3 x 2 1 )

9 x 2 1 -a

因为a＞0，x1＞

a 3

，
所以x1＞0，9

x

2 1

-a＞0，a-3

x

2 1

＜0…（12分）
所以

x1(a- x 2 1 )

9 x 2 1 -a

＜0，所以x₂＜x₁…（13分）

点评：本题主要考查导数的几何意义以及导数的应用，要求熟练掌握导数与函数单调性之间的关系，考查学生的运算能力．