Question

已知椭圆C：

x

a2

2+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

4

5

，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若

AF

=4

FB

，则k=（　　）

• A．

  7

  3

• B．

  2

• C．

  7

  4

• D．

  7

  5

Answer 1

分析：由椭圆的离心率算出a：b：c=5：3：4，因此设a=5t，b=3t，c=4t（t＞0）．化椭圆方程为9x²+25y²=225t²，与直线AB方程：y=k（x-4t）消去x，得到关于y的一元二次方程，再利用根与系数的关系和向量的坐标运算法则，结合题意建立关于k、t的方程组，解之即可得到k的值．

解答：解：∵椭圆C：

x

a2

2+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

4

5

，
∴

c

a

=

a2-b2

a

=

4

5

，

b

a

=

3

5

，
设a=5t，b=3t，c=4t，化椭圆方程为9x²+25y²=225t²（t＞0）
∵直线AB经过椭圆的右焦点F且斜率为k，∴直线AB的方程为y=k（x-4t）．
由

y=k(x-4t) 9x 2+25y 2=225t2

消去x，得(

9

k2

+25)y2+

72t

k

y-81t2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-

72kt

9+25k2

，y₁y₂=-

81k2t2

9+25k2

…①
又∵

AF

=4

FB

，∴y₁=-4y₂…②
联解①②，可得k²=

7

9

，结合k＞0得k=

7

3

故选：A

点评：本题着重考查了一元二次方程根与系数的关系、向量的坐标运算和椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．