Question

 已知函数f (x) =

（1）若函数y = f (x)存在零点a² + 1，且直线y = x – 1与函数y = f (x)的图象相切，求a的值．       

（2）当b = 1时，讨论f (x)的单调性．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（1）由f (a² + 1) = 0得+ ln1= 0，∴= 0即b = 0．设直线y = x–1与曲线y = f (x)切点为P(x₀，y₀)，则，

∴x₀ – a² = 1，∴x₀ – 1 = 0，x₀ = 1，∴a = 0．……5分

（2）b = 1时，f (x) = ，f (x)定义域为(a²，+∞)．       

f′(x) = ，设h (x) = x² – x + a²，二次方程h (x) = 0对应的判别式= 1 – 4a²．……6分

①当＜0即a＞或a＜–时，对一切x＞a²，都有f′(x)＞0，此时f (x)是(a²，+∞)上的单调递增函数．……7分

②当=0即a =±时，仅对x = 有f′(x) = 0，对于其余的x＞a²都有f′(x)＞0．此时f (x)是(a²，+∞)上的单调递增函数．……8分       

③当＞0即–＜a＜时，方程h (x) = 0有两个不同实根x₁ = ，a²＜x₁＜x₂，f (x)，f′(x)随x的变化如下表．

x	(a2，x1)	x1	(x1，x2)	x2	(x2，+∞)
f′(x)	+	0	–	0	+
f (x)	↑	极大值	↓	极小值	↑

此时y=f (x)在上单调递增，在上单调递减．在上单调递增．  ……13分