Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²上异于坐标原点O的两个不同动点A、B满足AO⊥BO，如图．

(1)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程．

(2)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设△AOB的重心G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　则∵OA⊥OB， 　　∴x1x2＋y1y2＝0． 　　又A、B在抛物线上， 　　∴y1＝x12，y2＝x22． 　　∴(x1x2)2＋x1x2＝0． 　　∵A、B不同于坐标原点O， 　　∴x1x2≠0．∴x1x2＝－1． 　　∴y1＋y2＝x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2， 　　即3y＝(3x)2＋2． 　　∴y＝3x2＋． 　　此即重心G的轨迹方程． 　　(2)S△AOB＝|OA|·|OB|＝ 　　＝． 　　由(1)知x1x2＝－1，y1y2＝1且y1＝x12，y2＝x22． 　　∴S△AOB＝． 　　∵y＝3x2＋， 　　∴y≥且当x＝0时，y＝． 　　∴S△AOB≥＝1． 　　∴△AOB面积存在最小值，且最小值为1．

提示：

本题考查直线与抛物线的位置关系、轨迹问题、最值问题，考查推理运算能力及综合运用知识解题能力．利用重心坐标公式及抛物线的性质解答本题．