Question

已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期为π，其图象的一条对称轴是直线x=

π

8

．
（Ⅰ）求ω，φ；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由周期求得ω=2，由图象的对称轴方程以及φ的范围求出 φ=-

π

4

，从而得到 函数f（x）=2cos（2x-

π

4

）．
（Ⅱ）令 2kπ≤2x-

π

4

≤2kπ+π，k∈z，求出x的范围，即可求得函数的减区间．
（Ⅲ）列表，根据列表画出函数的图象．

解答：（Ⅰ）由题意可得

2π

ω

=π，∴ω=2．
∵图象的一条对称轴是直线x=

π

8

，
∴2cos（2×

π

8

+φ）=±2．
再由，-π＜φ＜0可得 φ=-

π

4

，
∴函数f（x）=2cos（2x-

π

4

）．
（Ⅱ）令 2kπ≤2x-

π

4

≤2kπ+π，k∈z，解得 kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈z，故函数的减区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z．
（Ⅲ）列表：

x	0	π 8	2π 8	3π 8	4π 8	5π 8	6π 8	7π 8	π
2x- π 4	- π 4	0	π 4	π 2	3π 4	π	5π 4	3π 2	π 4
f（x）	2	2	2	0	2	-2	- 2	0	2

画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象，如图所示：

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，属于中档题．