Question

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x²=2py（p＞0）相交于A、B两点．
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，-p），可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+p，与x²=2py联立得

x2=2py y=kx+p

消去y得x²-2pkx-2p²=0．然后由韦达定理结合三角形面积公式进行求解．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，
则O'H⊥PQ，Q'点的坐标为（

x1

2

，y₁+

p

2

），由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，-p），可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+p，与x²=2py联立得

x2=2py y=kx+p

消去y得x²-2pkx-2p²=0．由弦长公式得|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

4p2k2+8p2

=2p

1+k2

•

k2+2

，又由点到直线的距离公式得d=

2p

1+k2

．由此能求出△ANB面积的最小值．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x-0）（x-x₁）-（y-p）（y-y₁）=0，
将直线方程y=a代入得x²-x₁x+（a-p）（a-y₁）=0，则△=

x

2 1

-4(a-p)(a-y1)=4[(a-

p

2

)y1+a(p-a)]．由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．

解答：解：法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，-p），
可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为y=kx+p，与x²=2py联立得

x2=2py y=kx+p

，
消去y得x²-2pkx-2p²=0．
由韦达定理得x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2p²．
于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=

1

2

•2p|x1-x2|
=p|x1-x2|=p

(x1+x2)2-4x1x2

=p

4p2k2+8p2

=2p2

k2+2

，
∴当k=0时，(S△ABN)min=2

2

p2．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，
AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，
则O'H⊥PQ，Q'点的坐标为（x1，

y1+p

2

）．
∵|O′P|=

1

2

|AC|=

1

2

x 2 1 +(y1-p)2

=

1

2

y 2 1 +p2

，|O′H|=|a-

y1+p

2

|=

1

2

|2a-y1-p|，
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²=

1

4

(

y

2 1

+p2)-

1

4

(2a-y1-p)2=(a-

p

2

)y1+a(p-a)，
∴|PQ|²=（2|PH|）²=4[(a-

p

2

)y1+a(p-a)]．
令a-

p

2

=0，得a=

p

2

，此时|PQ|=p为定值，
故满足条件的直线l存在，其方程为y=

p

2

，
即抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

4p2k2+8p2

=2p

1+k2

•

k2+2

，
又由点到直线的距离公式得d=

2p

1+k2

．
从而S△ABN=

1

2

?d•|AB|=

1

2

•2p

1+k2

•

k2+2

•

2p

1+k2

=2p2

k2+2

，∴当k=0时，(S△ABN)min=2

2

p2．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x-0）（x-x₁）+（y-p）（y-y₁）=0，
将直线方程y=a代入得x²-x₁x+（a-p）（a-y₁）=0，
则|x₁-x₂|²=

x

2 1

-4(a-p)(a-y1)=4[(a-

p

2

)y1+a(p-a)]．
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
则有|PQ|=|x3-x4|=

4[(a- p 2 )y1+a(p-a)]

=2

(a- p 2 )y1+a(p-a)

．
令a-

p

2

=0，得a=

p

2

，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y=

p

2

，
即抛物线的通径所在的直线．

点评：本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．