题目内容
（本小题满分14分）
已知函数
为自然对数的底数）
（1）求
的单调区间，若
有最值，请求出最值；
（2）是否存在正常数
，使
的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）
①当
恒成立
上是增函数，
只有一个单调递增区间
，没有最值…3分
②当
时，
，
若
，则
上单调递减；
若
，则
上单调递增，
时，有极小值，也是最小值，
即
…………6分
所以当时，的单调递减区间为
单调递增区间为
，最小值为
，无最大值…………7分
（2）方法一，若
与
的图象有且只有一个公共点，
则方程
有且只有一解，所以函数有且只有一个零点………8分
由（1）的结论可知
…………10分
此时，
的图象的唯一公共点坐标为
又
的图象在点处有共同的切线，
其方程为
，即
…………13分
综上所述，存在
，使
的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为
…………14分
方法二：设
图象的公共点坐标为
，
根据题意得
即
由②得
，代入①得
从而
…………10分
此时由（1）可知
时，
因此除
外，再没有其它
，使
…………13分
故存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为…………14分
练习册系列答案
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=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）