Question

已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动，且|AB|=，动点P满足（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C上任意一点作它的切线l，与椭圆交于M、N两点，求证：为定值。

Answer 1

解：（1）∵
∴P为线段AB的中点
∵A，B分别在直线y=x和y=-x上
∴
又
∴
∴点P在以原点为圆心，为半径的圆上
∴点P的轨迹C的方程为；
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m
∵l与C相切
∴
∴
联立
∴
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，
又
∴·=0
当直线l的斜率不存在时，l的方程为
带入椭圆方程得或
此时，
综上所述为定值0。