Question

已知数据x₁，x₂，…，x_n，的和S_n满足S_n=n²+n，则x₁，x₂，…，x_n，的方差=

1

3

（n+1）（13n+5）

．

Answer 1

分析：根据数列{x_n}的前n项和S_n，表示出数列{x_n}的前n-1项和S_n-1，两式相减即可求出此数列的通项公式，然后把n=1代入也满足，故此数列为等差数列，求出的x_n即为通项公式，从而得出x_n²=4n²．再利用方差的变形公式计算即得．

解答：解：当n≥2时，有a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n；，
而x₁=S₁=2适合上式，
所以：x_n=2n．
故x_n²=4n²．
∴

x

1 2

 +

x

2 2

+…+

x

n 2

=16（1²+2²+3²+…+n²）=16×

1

6

n（n+1）（2n+1），
且

.

x

=

S   n

n

=n+1，
根据方差的变形公式得：
S=

1

n

[( 

x

2 1

 +

x

2 2

+…+

x

2 n

)-n

. x

2

]
=

1

n

[

8

3

n(n+1)(2n+1)-n (n+1) 2]
=

1

3

（n+1）（13n+5）．
故答案为：

1

3

（n+1）（13n+5）．

点评：本题考查极差、方差与标准差数列通项公式的求法．解题时要注意递推公式 an=

S1         n=1 Sn-Sn-1  n≥2

的灵活运用．