Question

２２.如图，弧ADB为半圆，AB为直径，O为半圆的圆心，且OD⊥AB，Q为半径OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且始终保持|PA|+|PB|的值不变.

（1）建立适当的直角坐标系，求曲线C的方程；

（2）过点D的直线与曲线C交于不同的两点M、N，求三角形OMN面积的最大值.

Answer 1

（1）  （2）

解析:

（1）以O点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系　　

当P与Q重合时，|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=>|AB|=4.　

所以，P的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，其方程为

（2）设直线方程为

由  消去得：　　　

所以，

又O到直线MN的距离为， 所以，S_△MON=|MN|　

令=m，则，

所以，