Question

如图，为了计算郑东新区龙湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD=5km，AB=7km，∠BDA=60°，∠BCD=135°，求两景点B与C的距离．（假设A，B，C，D在同一平面内）

Answer 1

分析：在△ABD中根据余弦定理，建立关于BD的方程解出BD=8km．然后在△BDC中，根据题中数据利用正弦定理列式，可得BC=

BDsin∠CDB

sin∠BCD

=4

2

（km），即得B与C之间的距离．

解答：解：在△ABD中，设BD=x，
根据余弦定理，可得AB²=BD²+AD²-2BD•AD•cos∠BDA，
∵AD=5km，AB=7km，∠BDA=60°，
∴7²=x²+5²-10xcos60°，
整理得x²-5x-24=0，
解得x₁=8，x₂=-3（舍去），
∵AD⊥CD，∠BDA=60°，
∴∠CDB=30°，
在△BDC中，根据正弦定理

BC

sin∠CDB

=

BD

sin∠BCD

，
可得BC=

BDsin∠CDB

sin∠BCD

=

8sin30°

sin135°

=4

2

（km）．
答：两景点B与C的距离约为4

2

km．…（12分）

点评：本题给出实际应用问题，求两个景点之间的距离．着重考查了一元二次方程的解法、正余弦定理及其应用等知识，属于中档题．