Question

【题目】已知函数，R．

（1）若函数在上单调递减，在上单调递增，求的值；

（2）求函数在上的最大值；

（3）当时，若有3个零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a值即可；（2）求出函数导数，通过讨论a的范围，求出函数最大值即可；（3）求出函数导数，根据函数的单调性求出函数的极值，结合图象判断a的范围即可．

（1）由，则．

因函数在上单调递减，在上单调递增，得，

当时，显然满足要求，所以．

（2）因 ，，

当，即时，，在上单调递增，

则；

当，即时，，在上单调递减，

则；

当，即时，当时，；当时，，

所以在递减，在递增，则．

又，故当时，；

当时，；当时，．

综上，在上的最大值

（3）因得或；

又，，，单调递增；，，单调递减；，，单调递增，则，．

令，因R，所以R，所以与图像相同．则的零点个数即为方程不同实数解的个数．

①当(如图1)，即时，，有唯一负实数解，则存在使，而只有一个实数解，故只有一个实数解．

②当（如图2），即时，有两个不同实数解，．

因，与各有一个实数解，故有两个不同的实数解．

③当时（如图3），即，有三个不同实数解，，，

因，有一个实数解，则与只能各有一个实数解．

则由（2）可知在单调递减，单调递增，

则

即由得，当时，，

因，

故有．

综上，时，若有3个零点，则的取值范围是．