Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和满足S_n＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）证明{a_n}是等差数列并求数列的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得：a1=S1=

1

6

(a1+1)(a1+2)，解得a₁=1或a₁=2，
因为a₁=S₁＞1，所以a₁=2．
（Ⅱ）由a_n+1=S_n+1-S_n=

1

6

(an+1+1)(an+1+2)-

1

6

(an+1)(an+2)，
可得a_n+1-a_n-3=0或a_n+1+a_n=0，
因为数列{a_n}的各项均为正数，
所以a_n+1=-a_n不成立，故舍去．
所以a_n+1-a_n-3=0．
根据等差数列的定义可得：{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列，
所以{a_n}的通项为a_n=3n-1．