题目内容

已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于
10
时，求k的值．
（1）由方程y2=-x，y=k（x+1）
消去x后，整理得
ky2+y-k=0．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1•y2=-1．
∵A、B在抛物线y2=-x上，
∴y12=-x1，y22=-x2，y12•y22=x1x2．
∵kOA•kOB=
y1
x1
•
y2
x2
=
y1y2
x1x2
=
1
y1y2
=-1，
∴OA⊥OB．
（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，
∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0）．
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
=
1
2
|ON||y1|+
1
2
|ON||y2|
=
1
2
|ON|•|y1-y2|，
∴S△OAB=
1
2
•1•
(y1+y2)2-4y1y2

=
1
2
(
1
k
)2+4
．
∵S△OAB=
10
，
∴
10
=
1
2
1
k2
+4
．解得k=±
1
6
．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，直线l：y=
3
(x-4)关于直线l1：y=
b
a
x对称的直线l′与x轴平行．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，求双曲线的方程．
已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=
3
2
，且与椭圆
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L1：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【理科】已知双曲线的中心在坐标原点O，一条准线方程为x=
3
2
，且与椭圆
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的方程；
（2）设直线：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为
2
5
5
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为
1
2
的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e．
（1）若e=
2
2
，求椭圆的方程；
（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．
①证明点A在定圆上；
②设直线AB的斜率为k，若k≥
3
，求e的取值范围．
抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=
8
6
11
．
（1）求抛物线的方程；
（2）在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为2
2
，离心率为
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点M(0，
3
7
)满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值．
已知抛物线Σ1：y=
1
4
x2的焦点F在椭圆Σ2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，直线l与抛物线Σ1相切于点P（2，1），并经过椭圆Σ2的焦点F2．
（1）求椭圆Σ2的方程；
（2）设椭圆Σ2的另一个焦点为F1，试判断直线FF1与l的位置关系．若相交，求出交点坐标；若平行，求两直线之间的距离．

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