Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一段图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）要得到函数y=f（x）的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到？
（Ⅲ）若不等式f（x）-m≤2在x∈[0，2π]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数的图象直接得到，A，求出函数的周期，即可求出ω，利用函数经过(

7π

3

，0)，结合φ的范围求出φ的值，即可得到函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由正弦曲线经过初相，变换周期，然后变换振幅，即可推出结果．
（Ⅲ）通过x∈[0，2π]，求出相位的范围，求出函数的值的范围，利用不等式f（x）-m≤2在x∈[0，2π]上恒成立，得到m的不等式，求f（x）-2的最大值，即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由图象知，A=3，

T

2

=

13π

3

-

7π

3

=2π⇒T=4π，ω=

2π

T

=

1

2

，
将图象上的点(

7π

3

，0)代人y=f（x）中，
得φ=2kπ-

π

6

，k∈Z，又|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

，
故f(x)=3sin(

1

2

x-

π

6

)．
（Ⅱ）y=sinx的图象向右平移个单位纵坐标不变，得到y=sin（x-

π

6

）的图象，
横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin（

1

2

x-

π

6

），再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到f(x)=3sin(

1

2

x-

π

6

)；
（Ⅲ）∵x∈[0，2π]，
∴

1

2

x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
则sin(

1

2

x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
从而f(x)=3sin(

1

2

x-

π

6

)∈[-

3

2

，3]
不等式f（x）-m≤2在x∈[0，2π]上恒成立等价于：m≥f（x）-2在x∈[0，2π]上恒成立，
而f(x)-2∈[-

7

2

，1]，
∴m≥1．

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数图象的平移，正弦函数的值域的求法，考查基本知识的应用，分析问题解决问题的能力．