Question

设函数y＝f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在区间[0，7]上，只有两个零点1，3．

(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)＝0在区间[－2005，2005]上的根的个数．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由f(2－x)＝f(2＋x)，得f(－1)＝f(5)．又f(5)≠0，而f(1)＝0，所以f(1)≠f(－1)，所以函数y＝f(x)不是偶函数．因为y＝f(x)在[0，7]上，只有两个零点1，3，所以f(0)≠0，所以函数y＝f(x)不是奇函数．故函数y＝f(x)是非奇非偶函数． 　　(2) 　　因为f(3)＝f(1)＝0， 　　所以f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0，即y＝f(x)在[0，10]，[－10，0)上各有2个根，所以y＝f(x)在[0，2000]，[－2000，0)上各有400个根，而在[2000，2005]上有2个根，在[－2005，－2000)上没有根，所以f(x)＝0在区间[－2005，2005]上有802个根．