Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{a_n}的各项按如下规律排列：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，…，

1

n

，

2

n

，…，

n-1

n

，…有如下运算和结论：
①a23=

3

8

；
②S11=

31

6

③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比数列
④数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n项和为Tn=

n2+n

4

；
⑤若存在正整数k，使S_k＜10，S_k+1＞10，则ak=

5

7

．
在后面横线上填写出所有你认为正确运算结果或结论的序号

 

．

Answer 1

分析：根据数列的规律，分母为n时，所对应的项数是（n-1）项．从分母是2开始到分母为n结束共有

n(n-1)

2

项
①前23项构成的数列是：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，

1

6

…

1

8

，

2

8

，则第23项一目了然．
②易知：前11项构成的数列是：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，

1

6

，再求和便知正误．
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…实际上是

1

2

，1，

6

4

，2，…

n-1

2

，再由数列定义判断
④数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…实际上是

1

2

，1，

6

4

，2，…

n-1

2

，先判断数列类型，再用求其前n项和．
⑤通过④的前n项和解不等式，确定k的值，从而再判断终止的项．

解答：解：①前23项构成的数列是：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，

1

6

…

1

8

，

2

8

∴a23=

2

8

，故不正确；
②由数列可知：前11项构成的数列是：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，

1

6

∴s₁₁=

1

2

+

1

3

+

2

3

+

1

4

+

2

4

+

3

4

+

1

5

+

2

5

+

3

5

+

4

5

+

1

6

=

31

6

，故正确；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是

1

2

，1，

6

4

，2，

n-1

2

由等差数列定义

n-1

2

-

n-2

2

=

1

2

（常数），所以是等差数列，故不正确．
④∵数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是

1

2

，1，

6

4

，2，…

n-1

2

．
由③知是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知：Tn=

n2+n

4

，故正确；
⑤由④知数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅，a₁₆+a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀+a₂₁，是

1

2

，1，

6

4

，2，

5

2

，

1

7

+

2

7

+…+

6

7

∴T₅=7.5＜10，T₆=10.5＞10，∴ak=

5

7

，正确．
故答案为：②④⑤

点评：本题主要考查探究数列的规律，转化数列，构造数列来研究相应数列通项和前n项和问题，这种题难度较大，必须从具体到一般地静心研究，再推广到一般得到结论．