Question

【题目】设函数（实数为常数）

（1）当时，证明在上单调递减；

（2）若，且为偶函数，求实数的值；

（3）小金同学在求解函数的对称中心时，发现函数是一个复合函数，设，，则，显然有对称中心，设为，有反函数，则的对称中心为，请问小金的做法是否正确？如果正确，请给出证明，并直接写出当时的对称中心；如果错误，请举出反例，并用正确的方法直接写出当时的对称中心.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）若，的对称中心为；若，的对称中心为.

【解析】

（1）先将化简，再利用定义法证明单调性即可；

（2）由偶函数的性质化简求解即可得到a；

（3）利用（1）作为反例可知小金的做法是错误的，分别讨论和的情况，结合对称点的性质可得.

（1）当时，，

任取，且，

则，

由得，，即，又，

所以，即，故在上单调递减；

（2）依题意，，由可得，，

整理可得，，解得；

（3）错误，令，则，

显然有对称中心，，

很明显，没有意义，

当时，，

若，，则直线上每一个点都是的对称中心.

若，设的对称中心为，

则，由此可得，，，

即的对称中心为.