题目内容
9．设△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S，且满足S=a2-（b-c）2，b+c=8，则S的最大值为$\frac{64}{17}$．分析 满足S=a2-（b-c）2，b+c=8，利用余弦定理与三角形的面积计算公式可得：$\frac{1}{2}bcsinA$=2bc-（b2+c2-a2）=2bc-2bccosA，化为sinA+4cosA=4，与sin2A+cos2A=1，解得sinA，可得$S=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{4}{17}$bc，再利用基本不等式的性质即可得出．
解答 解：∵满足S=a2-（b-c）2，b+c=8，
∴$\frac{1}{2}bcsinA$=2bc-（b2+c2-a2）=2bc-2bccosA，
化为sinA+4cosA=4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{sinA+4cosA=4}\\{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=1}\end{array}\right.$，解得sinA=$\frac{8}{17}$，
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{4}{17}$bc$≤\frac{4}{17}（\frac{b+c}{2}）^{2}$=$\frac{64}{17}$，当且仅当b=c=4时取等号．
故答案为：$\frac{64}{17}$．
点评 本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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