Question

已知函数f（x）=log₂（x+1）．当点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动时，点（

x

3

，

y

2

）在函数y=g（x）（x＞-

1

3

）的图象上运动．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）求函数F（x）=f（x）-g（x）的零点．
（3）函数F（x）在x∈（0，1）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把两动点坐标分别代入两函数解析式，然后利用换元法可求得g（x）；
（2）表示出F（x），问题转化为求方程F（x）=0的根，注意函数定义域；
（3）可化为F（x）=log2

x+1

3x+1

=

1

2

log2

(x+1)2

3x+1

，设t=

(x+1)2

3x+1

，变形后进行换元，然后利用基本不等式可求得t的最值，从而可得F（x）的最值情况；

解答：解：（1）由点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动，得y=log₂（x+1），
由点（

x

3

，

y

2

）在函数y=g（x）（x＞-

1

3

）的图象上运动，得

y

2

=g(

x

3

)，
∴g(

x

3

)=

1

2

log₂（x+1），令t=

x

3

，∴x=3t，
∴g（t）=

1

2

log2(3t+1)，即g（x）=

1

2

log2(3x+1)；
（2）函数F（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）-

1

2

log2(3x+1)，
令F（x）=0，有log₂（x+1）=

1

2

log2(3x+1)=log2

3x+1

，
∴

x+1＞0 3x+1＞0 x+1= 3x+1

，解得x=0或x=1，
∴函数F（x）的零点是x=0或x=1；
（3）函数F（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）-

1

2

log2(3x+1)
=log2

x+1

3x+1

=

1

2

log2

(x+1)2

3x+1

，
设t=

(x+1)2

3x+1

=

1

9

•

(3x+3)2

3x+1

=

1

9

•

(3x+1)2+4(3x+1)+4

3x+1

=

1

9

(3x+1+

4

3x+1

+4)，
设m=3x+1，由x∈（0，1）得m∈（1，4），
函数m+

4

m

在（1，2]上递减，在[2，4）上递增，
当m=2时m+

4

m

有最小值4，无最大值，
∴t有最小值

8

9

，无最大值．
∴函数F（x）在x∈（0，1）内有最小值

1

2

log2

8

9

，无最大值．

点评：本题考查复合函数的单调性、对数函数的性质，考查基本不等式求函数最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力．