Question

（2011•闸北区三模）在数列{a_n}中，a₁=5，a_n+1=3a_n-4n+2，其中n∈N^*．
（1）设b_n=a_n-2n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与n²+2011的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意a_n+1=3a_n-4n+2，构造新的数列，在有b_n=a_n-2n，利用等比数列的定义既可以判断；
（2）因为数列{a_n}的前n项和为S_n且有（1）知道a_n=2n+3ⁿ 利用分组求和法求和S_n，在利用作差法加以判断即可．

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n-4n+2得a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），
又a₁-2=1≠0，a_n-2n≠0，得

an+1-2(n+1)

an-2n

=3，
所以，数列{a_n-2n}是首项为3，公比为3的等比数列，

（2）a_n-2n=3ⁿ⇒a_n=2n+3ⁿ，Sn=

3

2

(3n-1)+n(n+1)，Sn-n2-2011=

3

2

(3n-1)+n(n+1)-n2-2011=

3

2

(3n+

2

3

n-

4025

3

)
设函数f(x)=3x+

2

3

x，
由于y=3^x和y=

2

3

x都是R上的增函数，所以f(x)=3x+

2

3

x是R上的增函数．
又由于f(6)=733＜

4025

3

，f(7)=

6575

3

＞

4025

3

，
所以，当n∈{1，2，3，4，5，6}时，f(n)≤f(6)＜

4025

3

，此时，S_n＜n²+2011；
所以，当n∈N^*且n≥7时，f(n)≥f(7)＞

4025

3

，此时，S_n＞n²+2011．

点评：此题考查了已知数列的前n项的和，求出通项，还考查了分组求和法求和，比较法做差及分类讨论法．