Question

判定并证明下列函数在指定区间内的单调性

(1)y＝－x³＋1(x∈R)．

(2)y＝－ax(a∈［1,＋∞),x∈［0,＋∞))．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法一：在(－∞,＋∞)上任取x1、x2,使x1＜x2,则f(x1)－f(x2)＝(－x13＋1)－(－x23＋1)＝x23－x13＝(x2－x1)(x22＋x1x2＋x12) ∵x1＜x2,∴x2－x1＞0 若x1·x2＞0，则x22＋x1x2＋x12＞0, 若x1·x2＝0，由x1≠x2,则x12＋x22＞0 也有x22＋x1x2＋x12＞0 若x1·x2＜0，x22＋x1x2＋x12＝(x1＋x2)2－x1x2＞0 ∴对于任意的x1＜x2都有x22＋x1x2＋x12＞0 ∴f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x22＋x1x2＋x12)＞0即f(x1)＞f(x2) ∴y＝f(x)＝－x3＋1在R上是减函数． 解法二：在(－∞,＋∞)上任取x1、x2,使x1＜x2则f(x1)－f(x2)＝x23－x13＝(x2－x1)(x22＋x1x2＋x12)＝(x2－x1)［(x2＋)2＋x12］ ∵x1＜x2,∴x2－x1＞0，且x1,x2不同时为零， ∴(x2＋)2与x12不同时为零，即(x2＋)2＋x12＞0 ∴f(x1)－f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2) ∴y＝f(x)＝－x3＋1在R上是减函数． (2)解：任取x1,x2∈［0,＋∞),且x1＜x2, f(x1)－f(x2)＝(－ax1)－(－ax2) ＝()－a(x1－x2) ＝－a(x1－x2) ＝(x1－x2)(－a) ∵x1,x2∈［0,＋∞),且x1＜ ∴x1＋x2＜ 从而＜1，又a∈［1,＋∞) ∴－a＜0 ∴f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)( －a)＞0 即f(x1)＞f(x2) ∴y＝f(x)＝－ax(a∈［1,＋∞))在区间［0，＋∞)上是单调减函数