Question

如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P、Q分别在边BC、CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t，探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S（平方百米）．
（1）将S表示成t的函数；
（2）求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件，结合直角三角形，直接用t表示出DQ的长度，然后利用S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ，推出探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S．
（2）利用（1）推出探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S，利用基本不等式求出面积的最小值（平方百米）．

解答：解：（1）由题意知BP=t，0≤t≤1，…（2分）
∠DAQ=45°-θ，
DQ=tan(450-θ)=

1-t

1+t

…（4分）

S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ =1- 1 2 t- 1 2 • 1-t 1+t    =2- 1 2 (t+1+ 2 t+1 )

其中t∈[0，1]…（8分）

(2)  S=2- 1 2 (t+1+ 2 t+1 )，t∈[0，1] ≤2- 2 当且仅当t= 2 -1时取等号．

…（12分）
探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大值为2-

2

（平方百米） …（14分）

点评：本题考查三角形的实际应用，函数值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．