Question

已知ω＞0，向量

m

=(1，2cosωx)，

n

=(

3

sin2ωx，-cosωx)．设函数f(x)=

m

•

n

，且f(x)图象上相邻的两条对称轴的距离是

π

2

．
（I）求ω的值及f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[

π

4

，

π

2

]，求函数f(x)的最大值和最小值．

Answer 1

（I）∵

m

=（1，2cosωx），

n

=（

3

sin2ωx，-cosωx），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sin2ωx-2cos²ωx=

3

sin2ωx-（1+cos2ωx）=

3

sin2ωx-cos2ωx-1=2sin（2ωx-

π

6

）-1，
∵f（x）的图象上相邻的两条对称轴的距离是

π

2

，即周期T=π，∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ（k∈Z），
则f（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）由（I）f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴当2x-

π

6

=

5π

6

，即x=

π

2

时，f（x）取得最小值0；当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）取得最大值1．