Question

已知圆C：x²+y²=9，直线l：x-2y=0，则与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程为

y=-2x±3

5

．

Answer 1

分析：由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出与直线l垂直的直线方程的斜率为-2，设出此直线的方程为y=-2x+b，由此直线与圆C相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，进而确定出所求直线的方程．

解答：解：由圆C：x²+y²=9，得到圆心C（0，0），半径r=3，
∵直线l：x-2y=0的斜率为

1

2

，
∴与直线l垂直的直线方程的斜率为-2，
设与直线l垂直的直线方程为y=-2x+b，
又此直线与圆C相切，
∴圆心（0，0）到直线y=-2x+b的距离d=

|b|

5

=r=3，
解得：b=±3

5

，
则所求直线的方程为：y=-2x±3

5

．
故答案为：y=-2x±3

5

点评：此题考查了圆的切线方程，以及直线的一般式方程与直线的垂直关系，涉及的知识有：两直线垂直时斜率满足的关系，直线的点斜式方程，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练运用此性质是解本题的关键．