题目内容
已知函数f(x)=2cos2(
-x)+2
sin2x-a(a∈R，a为常数)．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间；
（III）若函数在区间[
，
]上的最小值为
，求实数a的值．
| π |
| 4 |
| 3 |
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间；
（III）若函数在区间[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3 |
分析：（1）化简函数f（x）的解析式为2sin(2x-
)+1-a+
，由此求得函数周期．
（2）令 2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
，k∈z，求出x的范围，即得函数的单调递增区间．
（3）由x得范围求得2x-
∈[
，
]，可得当2x-
=
，函数取得最小值ymin=2+
-a=
，由此求得 a 的值．
| π |
| 3 |
| 3 |
（2）令 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（3）由x得范围求得2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 3 |
解答：（1）∵f(x)=2cos2(
-x)+2
sin2x-a=1+cos（
-2x）+2
-a
=sin2x-
cos2x+1+
-a=2sin(2x-
)+1-a+
，故周期为 T=π．
（2）令 2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
，k∈z，解得 kπ-
≤x≤kπ+
，k∈z，
故增区间为 [kπ-
，kπ+
π] ，k∈Z．
（3）∵x∈[
，
]，∴2x-
∈[
，
]，
所以，当2x-
=
，即 x=
时，ymin=2+
-a=
，a=2．
| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| 1-cos2x |
| 2 |
=sin2x-
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
（2）令 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
故增区间为 [kπ-
| π |
| 12 |
| 5 |
| 12 |
（3）∵x∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
所以，当2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调区间，属于中档题．
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