Question

18．已知函数f（x）=ln|x|．
（1）求f′（x）；
（2）求f′（x）的图象与直线x+3y+4=0所围成图形的面积．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，求导数，可得结论；
（2）确定积分区间，利用定积分求f′（x）的图象与直线x+3y+4=0所围成图形的面积．

解答 解：（1）∵f（x）=ln|x|，
∴x＞0，f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$；x＜0，f（x）=ln（-x），f′（x）=$\frac{1}{x}$
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$；
（2）由x+3y+4=0，可得y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
由$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，可得x=-1或x=-3，
∴f′（x）的图象与直线x+3y+4=0所围成图形的面积S=${∫}_{-3}^{-1}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$）=（ln|x|+$\frac{1}{6}{x}^{2}$+$\frac{4}{3}$x）${|}_{-3}^{-1}$=$\frac{4}{3}$-ln3．

点评 本题考查导数知识的运用，考查定积分求面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．