Question

等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）设b_n=

1

an

，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，通过解方程组可求得a₁与q，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）可知{b_n}为等比数列，利用等比数列的求和公式可求得数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由

a

2 3

=9a₂a₆得

a

2 3

=9

a

2 4

，
所以q²=

1

9

，
由条件可知q＞0，故q=

1

3

…（2分）
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=

1

3

…（4分）
故数列{a_n}的通项式为a_n=

1

3n

…（6分）．
（Ⅱ）∵b_n=

1

an

=3ⁿ…（8分）
∴S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ
=

3(1-3n)

1-3

=

3(3n-1)

2

…（12分）

点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，属于中档题．