题目内容
2010年上海成功举办了举世瞩目的第41届世博会．有一家公司设置了这样一个奖项：对于函数f（n）=logn+1（n+2），n∈N*，如果正整数k满足乘积f（1）f（2）f（3）•…•f（k）为整数，则称k为“世博幸运数”，每天买到当天第k张世博门票的游客可以获赠该公司的一份“幸运礼品”．那么每天第一个获得“幸运礼品”的是买到当天第分析：先利用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…ak化为log2（k+2）；然后根据a1•a2•a3…ak为整数，可得k=2n-2；最后由等比数列通项公式解决问题．
解答：解：an=logn+1（n+2）=
（n∈N+），
∴a1•a2•a3…ak=
•
•
…
=log2（k+2）
又∵a1•a2•a3…ak为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N+），即k=2n-2．
∴k∈[1，2011]内所有的幸运数为：
M=（22-2），（23-2），（24-2），…，（210-2）
那么每天第一个获得“幸运礼品”的是买到当天第22-2=2张世博门票的游客；
在某天购得前2010张世博门票的游客中能够获得“幸运礼品”的至多有9人．
故答案为2；9．
| log2(n+2) |
| log2(n+1) |
∴a1•a2•a3…ak=
| log23 |
| log22 |
| log24 |
| log23 |
| log25 |
| log24 |
| log2(k+2) |
| log2(k+1) |
又∵a1•a2•a3…ak为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N+），即k=2n-2．
∴k∈[1，2011]内所有的幸运数为：
M=（22-2），（23-2），（24-2），…，（210-2）
那么每天第一个获得“幸运礼品”的是买到当天第22-2=2张世博门票的游客；
在某天购得前2010张世博门票的游客中能够获得“幸运礼品”的至多有9人．
故答案为2；9．
点评：本题在理解新定义的基础上，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，其综合性、技巧性是比较强的．
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