Question

20．定义$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$为n个正数p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”．若已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{2n+3}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2}$，则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{9}{b}_{10}}$=（　　）

• A． $\frac{1}{7}$
• B． $\frac{10}{69}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{10}{39}$

Answer 1

分析 首先根据信息建立等量关系，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出结果．

解答 解：定义$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$为n个正数p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”．
所以：已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{2n+3}$，
即：$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+3}$，
所以S_n=n（2n+3）
则a_n=S_n-S_n-1=4n+1，
当n=1时，也成立．
则a_n=4n+1．
由于b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2}$=2n+1，
所以$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{9}{b}_{10}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{21}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{21}$）=$\frac{1}{7}$．
故选：A．

点评 本题考查的知识要点：信息题型的应用，数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和．